線形代数レポート| Linear Algebra

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作者: Kreny Email: 最後の更新：December 11 2004 05:10:43. 貴方は ... からきました。	This page is based on Creative Commons License 転載するときに、作者の名前と下のリンクを必ず記入してください。
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線形代数レポート [pdf]

　　　経営　１年　 01121123 　

行列 A は　である。

問題

を証明しましょう。

問題

を証明しましょう。

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　証明する前に、まずベクトル、行列と固有値について説明しましょう。

広義には、ベクトルには始点を原点にか限る必要はない。

【線形代数】　線形代数 (line algebra) は、線形関数つまり１次関数を扱う代数である。実用的には多元連立１次方程式を効率よく解法する手法を習う学問である。線形代数には、その骨格はをなす構成要素として、ベクトル (vector) 、行列 (matrix) および行列式 (determinant) の 3 つが挙げられる。

【ベクトル】 (vector) 　ベクトルは基本的には「複数の変数からなる数の集まり」とみなすことができる。（実際に位置ベクトル (position vector) と呼ばれる）次のように、ベクトルが「大きさ (magnitude) と方向 (direction) をもった量 (quantity) あるいは存在 (entity) 」であると考えたときである。

【行列】「行列は複数の行と列からできた数字の集まりである」という定義をすると、ベクトルは行列において、行 (row) あるいは列 (column) が１列のものと定義することができる。つまり、ベクトルは行列の特殊な１形態ということになる。

【固有値】任意の行列 A があったときに、適当な実数をつかって、ベクトルが

の関係で結ばれるとき、ベクトルを行列 A の固有ベクトルとよび、を固有値と呼んでいる。ベクトルに行列 A に相当する１次変換を施したときに、このベクトルの実数倍になる変換でしかないと言う意味である。

【一次変換の概念】：ベクトルに行列を作用させると、別なベクトルに変わることになる。このとき、新しいベクトルの成分は、もとのベクトルの成分の線形結合 ( あるいは 1 次結合 ) となっているので、このような変換を 1 次変換あるいは線形変換 (linear transformation) と呼んでいる。

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いま二つのベクトル　　を並列に述べて行列をつくる。すると、その行列式は

と計算できる。行列式の性質から、ベクトルを列ベクトルとして並べた場合も同じ値が得られる。

実は、この値は、これらベクトルをそれぞれ辺とする平行四辺形の面積となる。実際に確かめてみよう。この平行四辺形の面積は

( ) で与えられる。ここで、 θ は二つのベクトルがなす角の大きさであるが、 1 次変換するとき θ は変わらない。ベクトルの大きさは、ピタゴラスの定理を使って、

∵ ∴ ∴

ここで、図のように、それぞれのベクトルがｘ軸となす角を α 、 β とすると、三角関数の加法定理より

と変形できる。ここで

　　　　　　　　　　　　　　　　　　の関係にあるので、これらを上式に代入すると

　となって、確かに平行四辺形の面積となっている。

∴

∴

より　　　 ∴

以上です。